'data.frame': 544 obs. of 4 variables:
$ height: num 152 140 137 157 145 ...
$ weight: num 47.8 36.5 31.9 53 41.3 ...
$ age : num 63 63 65 41 51 35 32 27 19 54 ...
$ male : int 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 ...
Un cours en R, Stan, et brms
Ladislas Nalborczyk (LPC, LNC, CNRS, Aix-Marseille Univ)
Cours n°01 : Introduction à l’inférence bayésienne
Cours n°02 : Modèle Beta-Binomial
Cours n°03 : Introduction à brms, modèle de régression linéaire
Cours n°04 : Modèle de régression linéaire (suite)
Cours n°05 : Markov Chain Monte Carlo
Cours n°06 : Modèle linéaire généralisé
Cours n°07 : Comparaison de modèles
Cours n°08 : Modèles multi-niveaux
Cours n°09 : Modèles multi-niveaux généralisés
Cours n°10 : Data Hackathon
\[ \begin{align} y_{i} &\sim \mathrm{Normal}(\mu_{i}, \sigma) \\ \mu_{i}&= \alpha + \beta x_{i} \\ \alpha &\sim \mathrm{Normal}(60, 10) \\ \beta &\sim \mathrm{Normal}(0, 10) \\ \sigma &\sim \mathrm{HalfCauchy}(0, 1) \end{align} \]
Objectif de la séance : comprendre ce type de modèle.
Les constituants de nos modèles seront toujours les mêmes et nous suivrons les trois mêmes étapes :
'data.frame': 544 obs. of 4 variables:
$ height: num 152 140 137 157 145 ...
$ weight: num 47.8 36.5 31.9 53 41.3 ...
$ age : num 63 63 65 41 51 35 32 27 19 54 ...
$ male : int 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 ...
\[h_{i} \sim \mathrm{Normal}(\mu, \sigma)\]
\[ p(x \ | \ \mu, \sigma) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} \exp \bigg[-\frac{1}{2 \sigma^{2}} (\mu - x)^{2} \bigg] \]
Contraintes : Certaines valeurs soient fortement probables (autour de la moyenne \(\mu\)). Plus on s’éloigne, moins les valeurs sont probables (en suivant une décroissance exponentielle).
\[ y = \exp \big[-x^{2} \big] \]
On étend notre fonction aux valeurs négatives.
\[ y = \exp \big[-x^{2} \big] \]
Les points d’inflection nous donnent une bonne indication de là où la plupart des valeurs se trouvent (i.e., entre les points d’inflection). Les pics de la dérivée nous montrent les points d’inflection.
\[ y = \exp \bigg [- \frac{1}{2} x^{2} \bigg] \]
Ensuite on standardise la distribution de manière à ce que les deux points d’inflection se trouvent à \(x = -1\) et \(x = 1\).
\[ y = \exp \bigg [- \frac{1}{2 \color{steelblue}{\sigma^{2}}} x^{2} \bigg] \]
On insère un paramètre \(\sigma^{2}\) pour contrôler la distance entre les points d’inflection.
\[ y = \exp \bigg [- \frac{1}{2 \color{steelblue}{\sigma^{2}}} (\color{orangered}{\mu} - x)^{2} \bigg] \]
On insère ensuite un paramètre \(\mu\) afin de pouvoir contrôler la position (la tendance centrale) de la distribution.
\[ y = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \color{steelblue}{\sigma^{2}}}} \exp \bigg[-\frac{1}{2 \color{steelblue}{\sigma^{2}}} (\color{orangered}{\mu} - x)^{2} \bigg] \]
Mais… cette distribution n’intègre pas à 1. On divise donc par une constante de normalisation (la partie gauche), afin d’obtenir une distribution de probabilité.
Nous allons construire un modèle de régression, mais avant d’ajouter un prédicteur, essayons de modéliser la distribution des tailles.
On cherche à savoir quel est le modèle (la distribution) qui décrit le mieux la répartition des tailles. On va donc explorer toutes les combinaisons possibles de \(\mu\) et \(\sigma\) et les classer par leurs probabilités respectives.
Notre but, une fois encore, est de décrire la distribution postérieure, qui sera donc d’une certaine manière une distribution de distributions.
On définit \(p(\mu, \sigma)\), la distribution a priori conjointe de tous les paramètres du modèle. On peut spécifier ces priors indépendamment pour chaque paramètre, sachant que \(p(\mu, \sigma) = p(\mu) p(\sigma)\).
\[\color{steelblue}{\mu \sim \mathrm{Normal}(178, 20)}\]
On définit \(p(\mu, \sigma)\), la distribution a priori conjointe de tous les paramètres du modèle. On peut spécifier ces priors indépendamment pour chaque paramètre, sachant que \(p(\mu, \sigma) = p(\mu) p(\sigma)\).
\[\color{steelblue}{\sigma \sim \mathrm{Uniform}(0, 50)}\]
library(ks)
sample_mu <- rnorm(1e4, 178, 20) # prior on mu
sample_sigma <- runif(1e4, 0, 50) # prior on sigma
prior <- data.frame(cbind(sample_mu, sample_sigma) ) # multivariate prior
H.scv <- Hscv(x = prior, verbose = TRUE)
fhat_prior <- kde(x = prior, H = H.scv, compute.cont = TRUE)
plot(
fhat_prior, display = "persp", col = "steelblue", border = NA,
xlab = "\nmu", ylab = "\nsigma", zlab = "\n\np(mu, sigma)",
shade = 0.8, phi = 30, ticktype = "detailed",
cex.lab = 1.2, family = "Helvetica")mu_exemple <- 151.23
sigma_exemple <- 23.42
d2$height[34] # une observation de taille (pour exemple)[1] 162.8648
On veut calculer la probabilité d’observer une certaine valeur de taille, sachant certaines valeurs de \(\mu\) et \(\sigma\), c’est à dire :
\[ p(x \ | \ \mu, \sigma) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} \exp \bigg[-\frac{1}{2 \sigma^{2}} (\mu - x)^{2} \bigg] \]
\[ p(x \ | \ \mu, \sigma) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} \exp \bigg[-\frac{1}{2 \sigma^{2}} (\mu - x)^{2} \bigg] \]
Ou avec une fonction maison…
\[ \color{purple}{p(\mu, \sigma \ | \ h)} = \frac{\prod_{i} \color{orangered}{\mathrm{Normal}(h_{i} \ | \ \mu, \sigma)}\color{steelblue}{\mathrm{Normal}(\mu \ | \ 178, 20)\mathrm{Uniform}(\sigma \ | \ 0, 50)}} {\color{green}{\int \int \prod_{i} \mathrm{Normal}(h_{i} \ | \ \mu, \sigma)\mathrm{Normal}(\mu \ | \ 178, 20)\mathrm{Uniform}(\sigma \ | \ 0, 50) \mathrm{d} \mu \mathrm{d} \sigma}} \]
\[ \color{purple}{p(\mu, \sigma \ | \ h)} \propto \prod_{i} \color{orangered}{\mathrm{Normal}(h_{i} \ | \ \mu, \sigma)}\color{steelblue}{\mathrm{Normal}(\mu \ | \ 178, 20)\mathrm{Uniform}(\sigma \ | \ 0, 50)} \]
Il s’agit de la même formule vue lors des cours 1 et 2, mais cette fois en considérant qu’il existe plusieurs observations de taille (\(h_{i}\)), et deux paramètres à estimer : \(\mu\) et \(\sigma\).
Pour calculer la vraisemblance marginale (en vert), il faut donc intégrer sur deux paramètres : \(\mu\) et \(\sigma\). On réalise ici encore que la probabilité a posteriori est proportionnelle au produit de la vraisemblance et du prior.
# définit une grille de valeurs possibles pour mu et sigma
mu.list <- seq(from = 140, to = 160, length.out = 200)
sigma.list <- seq(from = 4, to = 9, length.out = 200)
# étend la grille en deux dimensions (chaque combinaison de mu et sigma)
post <- expand.grid(mu = mu.list, sigma = sigma.list)
# calcul de la log-vraisemblance (pour chaque couple de mu et sigma)
post$LL <-
sapply(
1:nrow(post),
function(i) sum(dnorm(
d2$height,
mean = post$mu[i],
sd = post$sigma[i],
log = TRUE)
)
)
# calcul de la probabilité a posteriori (non normalisée)
post$prod <-
post$LL +
dnorm(post$mu, 178, 20, log = TRUE) +
dunif(post$sigma, 0, 50, log = TRUE)
# on "annule" le log en avec exp() et on standardise par la valeur maximale
post$prob <- exp(post$prod - max(post$prod) ) mu sigma LL prod prob
1 158.7940 4.552764 -1514.105 -1522.393 1.295109e-128
2 158.1910 8.974874 -1254.733 -1263.050 5.537848e-16
3 156.8844 6.185930 -1263.894 -1272.278 5.439939e-20
4 142.7136 7.015075 -1728.013 -1737.397 5.462072e-222
5 140.8040 6.788945 -1952.394 -1961.950 1.640298e-319
6 145.6281 6.713568 -1541.243 -1550.379 9.075074e-141
7 149.0452 6.688442 -1348.831 -1357.706 4.315575e-57
8 159.8995 8.698492 -1289.332 -1297.568 5.655538e-31
9 153.9698 4.326633 -1404.751 -1413.299 3.096839e-81
10 158.3920 6.512563 -1290.816 -1299.124 1.193462e-31
11 141.0050 7.492462 -1798.967 -1808.505 7.169390e-253
12 159.2965 8.924623 -1274.810 -1283.074 1.115005e-24
13 157.9899 7.467337 -1256.174 -1264.501 1.297854e-16
14 156.6834 8.045226 -1231.784 -1240.179 4.745905e-06
15 140.7035 6.035176 -2177.793 -2187.358 0.000000e+00
16 152.3618 5.256281 -1320.183 -1328.831 1.495994e-44
17 149.9497 6.035176 -1349.414 -1358.225 2.568226e-57
18 158.6935 7.391960 -1274.186 -1282.478 2.022193e-24
19 143.1156 8.497487 -1543.673 -1553.021 6.465794e-142
20 141.1055 5.381910 -2385.123 -2394.651 0.000000e+00
Under the hood : Stan est un langage de programmation probabiliste écrit en C++, et qui implémente plusieurs algorithmes de MCMC : HMC, NUTS, L-BFGS…
data {
int<lower=0> J; // number of schools
real y[J]; // estimated treatment effects
real<lower=0> sigma[J]; // s.e. of effect estimates
}
parameters {
real mu;
real<lower=0> tau;
real eta[J];
}
transformed parameters {
real theta[J];
for (j in 1:J)
theta[j] = mu + tau * eta[j];
}
model {
target += normal_lpdf(eta | 0, 1);
target += normal_lpdf(y | theta, sigma);
}Le package brms (Bürkner, 2017) permet de fitter des modèles multi-niveaux (ou pas) linéaires (ou pas) bayésiens en Stan mais en utilisant la syntaxe de lme4.
Par exemple, le modèle suivant :
\[ \begin{align} y_{i} &\sim \mathrm{Normal}(\mu_{i}, \sigma) \\ \mu_{i} &= \alpha + \alpha_{subject[i]} + \alpha_{item[i]} + \beta x_{i} \\ \end{align} \]
Le package brms utilise la même syntaxe que les fonctions de base R (comme lm) ou que le package lme4.
La partie gauche représente notre variable dépendante (ou outcome, i.e., ce qu’on essaye de prédire). Le package brms permet également de fitter des modèles multivariés (plusieurs outcomes) en les combinant avec mvbind().
Si l’on veut fitter un modèle sans intercept (why not), il faut le spécifier explicitement comme ci-dessous.
Par défaut brms postule une vraisemblance gaussienne. Ce postulat peut être changé facilement en spécifiant la vraisemblance souhaitée via l’argument family.
Lisez la documentation (c’est très enthousiasmant à lire) accessible via ?brm.
# générer le code du modèle en Stan
make_stancode(formula, ...)
stancode(fit)
# définir les priors
get_prior(formula, ...)
set_prior(prior, ...)
# récupérer les prédiction du modèle
fitted(fit, ...)
predict(fit, ...)
conditional_effects(fit, ...)
# posterior predictive checking
pp_check(fit, ...)
# comparaison de modèles
loo(fit1, fit2, ...)
bayes_factor(fit1, fit2, ...)
model_weights(fit1, fit2, ...)
# test d'hypothèse
hypothesis(fit, hypothesis, ...) Estimate Est.Error Q2.5 Q97.5
b_Intercept 154.60143 0.4270370 153.766471 155.452726
sigma 7.76318 0.2924757 7.225208 8.361705
Ces données représentent les distributions marginales de chaque paramètre. En d’autres termes, la probabilité de chaque valeur de \(\mu\), après avoir moyenné sur toutes les valeurs possible de \(\sigma\), est décrite par une distribution gaussienne avec une moyenne de \(154.59\) et un écart type de \(0.41\). L’intervalle de crédibilité (\(\neq\) intervalle de confiance) nous indique les 95% valeurs de \(\mu\) ou \(\sigma\) les plus probables (sachant les données et les priors).
Par défaut brms utilise un prior très peu informatif centré sur la valeur moyenne de la variable mesurée. On peut donc affiner l’estimation réalisée par ce modèle en utilisant nos connaissances sur la distribution habituelle des tailles chez les humains.
La fonction get_prior() permet de visualiser une liste des priors par défaut ainsi que de tous les priors qu’on peut spécifier, sachant une certaine formule (i.e., une manière d’écrire notre modèle) et un jeu de données.
Family: gaussian
Links: mu = identity; sigma = identity
Formula: height ~ 1
Data: d2 (Number of observations: 352)
Draws: 4 chains, each with iter = 2000; warmup = 1000; thin = 1;
total post-warmup draws = 4000
Population-Level Effects:
Estimate Est.Error l-95% CI u-95% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
Intercept 154.61 0.42 153.79 155.44 1.00 3367 2534
Family Specific Parameters:
Estimate Est.Error l-95% CI u-95% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
sigma 7.76 0.29 7.23 8.37 1.00 3235 2603
Draws were sampled using sampling(NUTS). For each parameter, Bulk_ESS
and Tail_ESS are effective sample size measures, and Rhat is the potential
scale reduction factor on split chains (at convergence, Rhat = 1).
Family: gaussian
Links: mu = identity; sigma = identity
Formula: height ~ 1
Data: d2 (Number of observations: 352)
Draws: 4 chains, each with iter = 2000; warmup = 1000; thin = 1;
total post-warmup draws = 4000
Population-Level Effects:
Estimate Est.Error l-95% CI u-95% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
Intercept 177.87 0.10 177.68 178.06 1.00 2529 2389
Family Specific Parameters:
Estimate Est.Error l-95% CI u-95% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
sigma 24.60 0.95 22.84 26.52 1.00 3041 2444
Draws were sampled using sampling(NUTS). For each parameter, Bulk_ESS
and Tail_ESS are effective sample size measures, and Rhat is the potential
scale reduction factor on split chains (at convergence, Rhat = 1).
On remarque que la valeur estimée pour \(\mu\) n’a presque pas “bougée” du prior…mais on remarque également que la valeur estimée pour \(\sigma\) a largement augmentée. Nous avons dit au modèle que nous étions assez certain de notre valeur de \(\mu\), le modèle s’est ensuite “adapté”, ce qui explique la valeur de \(\sigma\)…
Le prior peut généralement être considéré comme un posterior obtenu sur des données antérieures.
On sait que le \(\sigma\) d’un posterior gaussien nous est donné par la formule :
\[\sigma_{post} = 1 / \sqrt{n}\]
Qui implique une quantité de données \(n = 1 / \sigma^2_{post}\). Notre prior avait un \(\sigma = 0.1\), ce qui donne \(n = 1 / 0.1^2 = 100\).
On peut donc considérer que le prior \(\mu \sim \mathrm{Normal}(178, 0.1)\) est équivalent au cas dans lequel nous aurions observé \(100\) tailles de moyenne \(178\).
# A draws_df: 6 iterations, 1 chains, and 5 variables
b_Intercept sigma lprior lp__ density
1 155 7.8 -9.3 -1227 0.859
2 154 7.2 -9.3 -1229 0.207
3 154 7.9 -9.3 -1227 0.592
4 154 7.7 -9.3 -1230 0.056
5 154 7.8 -9.3 -1229 0.194
6 155 7.7 -9.3 -1227 0.609
# ... hidden reserved variables {'.chain', '.iteration', '.draw'}
Comment est-ce que la taille co-varie avec le poids ?
\[ \begin{align} h_{i} &\sim \mathrm{Normal}(\mu_{i}, \sigma) \\ \mu_{i} &= \alpha + \beta x_{i} \\ \end{align} \]
mean sd 2.5% 97.5%
(Intercept) 113.8793936 1.91106523 110.1337746 117.6250126
weight 0.9050291 0.04204752 0.8226175 0.9874407
On considère un modèle de régression linéaire avec un seul prédicteur, une pente, un intercept, et des résidus distribués selon une loi normale. La notation :
\[ h_{i} = \alpha + \beta x_{i} + \epsilon_{i} \quad \text{avec} \quad \epsilon_{i} \sim \mathrm{Normal}(0, \sigma) \]
est équivalente à :
\[ h_{i} - (\alpha + \beta x_{i}) \sim \mathrm{Normal}(0, \sigma) \]
et si on réduit encore un peu :
\[ h_{i} \sim \mathrm{Normal}(\alpha + \beta x_{i}, \sigma). \]
Les notations ci-dessus sont équivalentes, mais la dernière est plus flexible, et nous permettra par la suite de l’étendre plus simplement aux modèles multi-niveaux.
\[ \begin{aligned} \color{orangered}{h_{i}} \ &\color{orangered}{\sim \mathrm{Normal}(\mu_{i},\sigma)} \\ \color{black}{\mu_{i}} \ &\color{black}{= \alpha + \beta x_{i}} \\ \color{steelblue}{\alpha} \ &\color{steelblue}{\sim \mathrm{Normal}(178, 20)} \\ \color{steelblue}{\beta} \ &\color{steelblue}{\sim \mathrm{Normal}(0, 10)} \\ \color{steelblue}{\sigma} \ &\color{steelblue}{\sim \mathrm{Exponential}(0.01)} \\ \end{aligned} \]
Dans ce modèle \(\mu\) n’est plus un paramètre à estimer (car \(\mu\) est déterminé par \(\alpha\) et \(\beta\)). À la place, nous allons estimer \(\alpha\) et \(\beta\).
Rappels : \(\alpha\) est l’intercept, c’est à dire la taille attendue, lorsque le poids est égal à \(0\). \(\beta\) est la pente, c’est à dire le changement de taille attendu quand le poids augmente d’une unité.
Estimate Est.Error Q2.5 Q97.5
b_Intercept 113.8560505 1.92466245 110.0106154 117.5964246
b_weight 0.9055436 0.04218126 0.8233189 0.9889927
sigma 5.1061279 0.19353534 4.7478718 5.4975492
lprior -12.4812592 0.01607904 -12.5126049 -12.4498409
lp__ -1083.3724085 1.24978603 -1086.4631043 -1081.9733935
\(\alpha = 113.87, 95\% \ \text{CrI} \ [110.18, 117.68]\) représente la taille moyenne quand le poids est égal à 0kg…
\(\beta = 0.91, 95\% \ \text{CrI} \ [0.82, 0.99]\) nous indique qu’une augmentation de 1kg entraîne une augmentation de 0.90cm.
Estimate Est.Error Q2.5 Q97.5
Intercept 154.6030316 0.26883540 154.0656148 155.1235090
weight.c 0.9052989 0.04190118 0.8247666 0.9877916
Après avoir centré la réponse, l’intercept représente désormais la valeur attendue de taille lorsque le poids est à sa valeur moyenne.
# on crée un vecteur de valeurs possibles pour "weight"
weight.seq <- data.frame(weight = seq(from = 25, to = 70, by = 1) )
# on récupère les prédictions du modèle pour ces valeurs de poids
mu <- data.frame(fitted(mod4, newdata = weight.seq) ) %>% bind_cols(weight.seq)
# on affiche les 10 premières lignes de mu
head(mu, 10) Estimate Est.Error Q2.5 Q97.5 weight
1 136.4946 0.8933004 134.7005 138.2494 25
2 137.4002 0.8532249 135.6843 139.0776 26
3 138.3057 0.8133624 136.6808 139.9027 27
4 139.2113 0.7737458 137.6706 140.7266 28
5 140.1168 0.7344149 138.6486 141.5520 29
6 141.0224 0.6954181 139.6416 142.3815 30
7 141.9279 0.6568151 140.6166 143.2041 31
8 142.8334 0.6186795 141.5970 144.0501 32
9 143.7390 0.5811034 142.5660 144.8769 33
10 144.6445 0.5442025 143.5398 145.7156 34
Pour rappel, voici notre modèle : \(h_{i} \sim \mathrm{Normal}(\alpha + \beta x_{i}, \sigma)\). Pour l’instant, on a seulement représenté les prédictions pour \(\mu\). Comment incorporer \(\sigma\) dans nos prédictions ?
# on crée un vecteur de valeurs possibles pour "weight"
weight.seq <- data.frame(weight = seq(from = 25, to = 70, by = 1) )
# on récupère les prédictions du modèle pour ces valeurs de poids
pred_height <- data.frame(predict(mod4, newdata = weight.seq) ) %>% bind_cols(weight.seq)
# on affiche les 10 premières lignes de pred_height
head(pred_height, 10) Estimate Est.Error Q2.5 Q97.5 weight
1 136.3917 5.135937 126.4519 146.3062 25
2 137.4340 5.269709 127.1225 147.7531 26
3 138.3786 5.260059 127.9501 148.6788 27
4 139.0802 5.093836 129.0561 149.1624 28
5 140.1495 5.305784 129.8050 150.5297 29
6 141.0832 5.198128 130.6470 151.1379 30
7 141.9233 5.246657 131.5855 152.3073 31
8 142.9076 5.151226 133.0260 153.0342 32
9 143.6843 5.144352 133.5335 153.8345 33
10 144.7625 5.100884 134.7592 154.5907 34
d2 %>%
ggplot(aes(x = weight, y = height) ) +
geom_point(colour = "white", fill = "black", pch = 21, size = 3, alpha = 0.8) +
geom_ribbon(
data = pred_height, aes(x = weight, ymin = Q2.5, ymax = Q97.5),
alpha = 0.2, inherit.aes = FALSE
) +
geom_smooth(
data = mu, aes(y = Estimate, ymin = Q2.5, ymax = Q97.5),
stat = "identity", color = "black", alpha = 0.8, size = 1
)Deux sources d’incertitude dans le modèle : incertitude concernant l’estimation de la valeur des paramètres mais également concernant le processus d’échantillonnage.
Incertitude épistémique : La distribution a posteriori ordonne toutes les combinaisons possibles des valeurs des paramètres selon leurs plausibilités relatives.
Incertitude aléatoire : La distribution des données simulées est elle, une distribution qui contient de l’incertitude liée à un processus d’échantillonnage (i.e., générer des données à partir d’une gaussienne).
Voir aussi ce court article par O’Hagan (2004).
d <- d %>% mutate(weight.s = (weight - mean(weight) ) / sd(weight) )
d %>%
ggplot(aes(x = weight.s, y = height) ) +
geom_point(colour = "white", fill = "black", pch = 21, size = 3, alpha = 0.8)[1] -2.712698e-18 1.000000e+00
Pourquoi standardiser les prédicteurs ?
Interprétation. Permet de comparer les coefficients de plusieurs prédicteurs. Un changement d’un écart-type du prédicteur correspond à un changement d’un écart-type sur la réponse (si la réponse est aussi standardisée).
Fitting. Quand les prédicteurs contiennent de grandes valeurs, cela peut poser des problèmes de convergence (cf. Cours n°05)…
\[ \begin{aligned} \color{orangered}{h_{i}} \ &\color{orangered}{\sim \mathrm{Normal}(\mu_{i}, \sigma)} \\ \color{black}{\mu_{i}} \ &\color{black}{= \alpha + \beta_{1} x_{i} + \beta_{2} x_{i}^{2}} \\ \color{steelblue}{\alpha} \ &\color{steelblue}{\sim \mathrm{Normal}(156, 100)} \\ \color{steelblue}{\beta_{1}, \beta_{2}} \ &\color{steelblue}{\sim \mathrm{Normal}(0, 10)} \\ \color{steelblue}{\sigma} \ &\color{steelblue}{\sim \mathrm{Exponential}(0.01)} \\ \end{aligned} \]
À vous de construire et fitter ce modèle en utilisant brms::brm().
Family: gaussian
Links: mu = identity; sigma = identity
Formula: height ~ 1 + weight.s + I(weight.s^2)
Data: d (Number of observations: 544)
Draws: 4 chains, each with iter = 2000; warmup = 1000; thin = 1;
total post-warmup draws = 4000
Population-Level Effects:
Estimate Est.Error l-95% CI u-95% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
Intercept 146.66 0.37 145.93 147.39 1.00 3288 3142
weight.s 21.39 0.29 20.82 21.97 1.00 3027 2439
Iweight.sE2 -8.42 0.28 -8.98 -7.86 1.00 3578 2932
Family Specific Parameters:
Estimate Est.Error l-95% CI u-95% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
sigma 5.78 0.18 5.45 6.15 1.00 4048 2836
Draws were sampled using sampling(NUTS). For each parameter, Bulk_ESS
and Tail_ESS are effective sample size measures, and Rhat is the potential
scale reduction factor on split chains (at convergence, Rhat = 1).
# on crée un vecteur de valeurs possibles pour "weight"
weight.seq <- data.frame(weight.s = seq(from = -2.5, to = 2.5, length.out = 50) )
# on récupère les prédictions du modèle pour ces valeurs de poids
mu <- data.frame(fitted(mod6, newdata = weight.seq) ) %>% bind_cols(weight.seq)
pred_height <- data.frame(predict(mod6, newdata = weight.seq) ) %>% bind_cols(weight.seq)
# on affiche les 10 premières lignes de pred_height
head(pred_height, 10) Estimate Est.Error Q2.5 Q97.5 weight.s
1 40.41777 5.924594 28.98283 52.37231 -2.500000
2 47.00700 5.891716 35.65089 58.80962 -2.397959
3 53.18249 5.839806 42.06885 64.79140 -2.295918
4 59.12317 5.879293 47.44499 70.53498 -2.193878
5 65.12696 5.826416 54.03370 76.91356 -2.091837
6 70.74475 5.727329 59.38448 81.62123 -1.989796
7 76.28726 5.824628 64.69855 87.72829 -1.887755
8 81.77182 5.735331 70.59910 92.93060 -1.785714
9 86.98464 5.819578 75.76149 98.43104 -1.683673
10 91.76803 5.928460 80.28539 103.28744 -1.581633
d %>%
ggplot(aes(x = weight.s, y = height) ) +
geom_point(colour = "white", fill = "black", pch = 21, size = 3, alpha = 0.8) +
geom_ribbon(
data = pred_height, aes(x = weight.s, ymin = Q2.5, ymax = Q97.5),
alpha = 0.2, inherit.aes = FALSE
) +
geom_smooth(
data = mu, aes(y = Estimate, ymin = Q2.5, ymax = Q97.5),
stat = "identity", color = "black", alpha = 0.8, size = 1
)Plusieurs méthodes pour calculer les tailles d’effet dans les modèles bayésiens. Gelman & Pardoe (2006) proposent une méthode pour calculer un \(R^{2}\) basé sur l’échantillon.
Marsman & Wagenmakers (2017) et Marsman et al. (2019) généralisent des méthodes existantes pour calculer un \(\rho^{2}\) pour les designs de type ANOVA (i.e., avec prédicteurs catégoriels), qui représente une estimation de la taille d’effet dans la population, et non basé sur l’échantillon.
Similar to most of the ES measures that have been proposed for the ANOVA model, the squared multiple correlation coefficient \(\rho^{2}\) […] is a so-called proportional reduction in error measure (PRE). In general, a PRE measure expresses the proportion of the variance in an outcome \(y\) that is attributed to the independent variables \(x\) (Marsman et al., 2019).
\[ \begin{aligned} \rho^{2} &= \dfrac{\sum_{i = 1}^{n} \pi_{i}(\beta_{i} - \beta)^{2}}{\sigma^{2} + \sum_{i=1}^{n} \pi_{i}(\beta_{i} - \beta)^{2}} \\ \rho^{2} &= \dfrac{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \beta_{i}^{2}}{\sigma^{2} + \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \beta_{i}^{2}} \\ \rho^{2} &= \dfrac{\beta^{2} \tau^{2}}{\sigma^{2} + \beta^{2} \tau^{2}}\\ \end{aligned} \]
On a présenté un nouveau modèle à deux puis trois paramètres : le modèle gaussien, puis la régression linéaire gaussienne, permettant de mettre en relation deux variables continues.
Comme précédemment, le théorème de Bayes est utilisé pour mettre à jour nos connaissances a priori quant à la valeur des paramètres en une connaissance a posteriori, synthèse entre nos priors et l’information contenue dans les données.
La package brms permet de fitter toutes sortes de modèles avec une syntaxe similaire à celle utilisée par lm().
La fonction fitted() permet de récupérer les prédictions d’un modèle fitté avec brms (i.e., un modèle de classe brmsfit).
La fonction predict() permet de simuler des données à partir d’un modèle fitté avec brms.
Sélectionner toutes les lignes du jeu de données howell correspondant à des individus mineurs (age < 18). Cela devrait résulter en une dataframe de 192 lignes.
Fitter un modèle de régression linéaire en utilisant la fonction brms::brm(). Reporter et interpréter les estimations de ce modèle. Pour une augmentation de 10 unités de weight, quelle augmentation de taille (height) le modèle prédit-il ?
Faire un plot des données brutes avec le poids sur l’axe des abscisses et la taille sur l’axe des ordonnées. Surimposer la droite de régression du modèle et un intervalle de crédibilité à 89% pour la moyenne. Ajouter un intervalle de crédibilité à 89% pour les tailles prédites.
Que pensez-vous du fit du modèle ? Quelles conditions d’application du modèle seriez-vous prêt.e.s à changer, afin d’améliorer le modèle ?
Imaginons que vous ayez consulté une collègue experte en allométrie (i.e., les phénomènes de croissance différentielle d’organes) et que cette dernière vous explique que ça ne fait aucun sens de modéliser la relation entre le poids et la taille… alors qu’on sait que c’est le logarithme du poids qui est relié à la taille !
Modéliser alors la relation entre la taille (cm) et le log du poids (log-kg). Utiliser la dataframe howell en entier (les 544 lignes). Fitter le modèle suivant en utilisant brms::brm().
\[ \begin{align*} &\color{orangered}{h_{i} \sim \mathrm{Normal}(\mu_{i}, \sigma)} \\ &\mu_{i}= \alpha + \beta \cdot \log (w_{i}) \\ &\color{steelblue}{\alpha \sim \mathrm{Normal}(178, 100)} \\ &\color{steelblue}{\beta \sim \mathrm{Normal}(0, 100)} \\ &\color{steelblue}{\sigma \sim \mathrm{Exponential}(0.01)} \\ \end{align*} \]
Où \(h_{i}\) est la taille de l’individu \(i\) et \(w_{i}\) le poids de l’individu \(i\). La fonction pour calculer le log en R est simplement log(). Est-ce que vous savez interpréter les résultats ? Indice: faire un plot des données brutes et surimposer les prédictions du modèle…
# on garde seulement les individus ayant moins de 18 ans
d <- open_data(howell) %>% filter(age < 18)
priors <- c(
prior(normal(150, 100), class = Intercept),
prior(normal(0, 10), class = b),
prior(exponential(0.01), class = sigma)
)
mod7 <- brm(
height ~ 1 + weight,
prior = priors,
family = gaussian(),
data = d
) Family: gaussian
Links: mu = identity; sigma = identity
Formula: height ~ 1 + weight
Data: d (Number of observations: 192)
Draws: 4 chains, each with iter = 2000; warmup = 1000; thin = 1;
total post-warmup draws = 4000
Population-Level Effects:
Estimate Est.Error l-89% CI u-89% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
Intercept 58.23 1.40 56.00 60.46 1.00 4163 3249
weight 2.72 0.07 2.61 2.83 1.00 3866 3171
Family Specific Parameters:
Estimate Est.Error l-89% CI u-89% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
sigma 8.53 0.43 7.89 9.24 1.00 4146 2878
Draws were sampled using sampling(NUTS). For each parameter, Bulk_ESS
and Tail_ESS are effective sample size measures, and Rhat is the potential
scale reduction factor on split chains (at convergence, Rhat = 1).
# on crée un vecteur de valeurs possibles pour "weight"
weight.seq <- data.frame(weight = seq(from = 5, to = 45, length.out = 1e2) )
# on récupère les prédictions du modèle pour ces valeurs de poids
mu <- data.frame(
fitted(mod7, newdata = weight.seq, probs = c(0.055, 0.945) )
) %>%
bind_cols(weight.seq)
pred_height <- data.frame(
predict(mod7, newdata = weight.seq, probs = c(0.055, 0.945) )
) %>%
bind_cols(weight.seq)
# on affiche les 6 premières lignes de pred_height
head(pred_height) Estimate Est.Error Q5.5 Q94.5 weight
1 71.85009 8.708405 57.93511 85.54047 5.000000
2 73.20394 8.608796 59.54632 87.26442 5.404040
3 74.00336 8.473719 60.61056 87.87842 5.808081
4 75.21226 8.695299 61.29675 89.10839 6.212121
5 76.20246 8.692741 62.29386 89.98775 6.616162
6 77.70996 8.681873 63.76961 91.75076 7.020202
d %>%
ggplot(aes(x = weight, y = height) ) +
geom_point(colour = "white", fill = "black", pch = 21, size = 3, alpha = 0.8) +
geom_ribbon(
data = pred_height, aes(x = weight, ymin = Q5.5, ymax = Q94.5),
alpha = 0.2, inherit.aes = FALSE
) +
geom_smooth(
data = mu, aes(y = Estimate, ymin = Q5.5, ymax = Q94.5),
stat = "identity", color = "black", alpha = 0.8, size = 1
) Family: gaussian
Links: mu = identity; sigma = identity
Formula: height ~ 1 + log(weight)
Data: d (Number of observations: 544)
Draws: 4 chains, each with iter = 2000; warmup = 1000; thin = 1;
total post-warmup draws = 4000
Population-Level Effects:
Estimate Est.Error l-89% CI u-89% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
Intercept -23.62 1.38 -25.84 -21.38 1.00 4071 3010
logweight 47.03 0.40 46.40 47.66 1.00 4120 2934
Family Specific Parameters:
Estimate Est.Error l-89% CI u-89% CI Rhat Bulk_ESS Tail_ESS
sigma 5.16 0.16 4.92 5.41 1.00 4314 3248
Draws were sampled using sampling(NUTS). For each parameter, Bulk_ESS
and Tail_ESS are effective sample size measures, and Rhat is the potential
scale reduction factor on split chains (at convergence, Rhat = 1).
# on crée un vecteur de valeurs possibles pour "weight"
weight.seq <- data.frame(weight = seq(from = 5, to = 65, length.out = 1e2) )
# on récupère les prédictions du modèle pour ces valeurs de poids
mu <- data.frame(
fitted(mod8, newdata = weight.seq, probs = c(0.055, 0.945) )
) %>%
bind_cols(weight.seq)
pred_height <- data.frame(
predict(mod8, newdata = weight.seq, probs = c(0.055, 0.945) )
) %>%
bind_cols(weight.seq)
# on affiche les 6 premières lignes de pred_height
head(pred_height) Estimate Est.Error Q5.5 Q94.5 weight
1 52.04062 5.136516 43.78923 60.12928 5.000000
2 57.42481 5.199827 48.94224 65.58403 5.606061
3 62.25204 5.206104 53.99520 70.61107 6.212121
4 66.66449 5.135821 58.48175 74.69729 6.818182
5 70.77993 5.164539 62.53819 79.09555 7.424242
6 74.17263 5.128063 65.97084 82.31390 8.030303
d %>%
ggplot(aes(x = weight, y = height) ) +
geom_point(colour = "white", fill = "black", pch = 21, size = 3, alpha = 0.8) +
geom_ribbon(
data = pred_height, aes(x = weight, ymin = Q5.5, ymax = Q94.5),
alpha = 0.2, inherit.aes = FALSE
) +
geom_smooth(
data = mu, aes(y = Estimate, ymin = Q5.5, ymax = Q94.5),
stat = "identity", color = "black", alpha = 0.8, size = 1
)Ladislas Nalborczyk - IMSB2022